集合のとある問題を解説(不等式と集合の組合せ)

問題文

x、kを実数とする。全体集合を実数全体の集合とし、部分集合A,BがA={x|x^2+2x-8>0},B={x|x-2-(k-2)>0}であるとき、次の問いに答えよ。

k=-2のとき、A⊂Bであることを証明せよ。
k<-2のとき、A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ。
k>-2のとき、A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ。

解き方

①Aの不等式を解く

Aのほうを因数分解すると(x+4)(x-2)>0という式が得られます。
では、不等式の答えはどうなるでしょうか？
今回はx<-4、2<xとなるはずです。

②Bを因数分解しておく

文字があって、やりづらいかもしれません。
きっと、(x-k)(x+2)>0という式が得られると思います。

ここまでが問題を解くための下ごしらえです。
ここからは各問の条件にあわせて考えていきます。

(1)k=-2のとき、A⊂Bであることを証明せよ。

k=-2と特定の値となっているので、そのままBの式へ代入しましょう。
すると(x+2)^2>0という式を得られると思います。
この答えは、-2以外の実数となりますよね（※）。

Bの範囲がわかったところでAの範囲を考えましょう。
Aの範囲はすべてBの範囲と合致していていることがわかると思います。
よってA⊂Bということがわかります。

※疑問に思った方はグラフを書いてみましょう！

(2)k<-2のとき、A⊂Bであることを証明せよ。

(1)と異なり、kが-2未満という表現になっているため少々考えにくくなっています。
ここで必要となるのが

(x-k)(x+2)>0

の結果です。

この不等式を解くとxの範囲はどのようになるでしょうか？

この式が正の値となるのは()内の値が同符号になる場合です。したがって、どちらも正になる場合、どちらも負となる場合を考えていく必要があります。

(ⅰ)ともに正

ともに正となるためには「x-k>0」かつ「x+2>0」とならなければなりません。
これらを整理すると「x>k」かつ「x>-2」となります。
さて、この結果をふまえてどのような範囲になるのかを考えると、
今回はk<-2と言われているのでx>-2のほうがx>kよりも小さい値を指していることがわかります。
したがって、k>-2のときにともに正となるのはx>-2となります。

(ⅱ)ともに負

(ⅰ)と同様に考えると、ともに負となるのは「x<k」かつ「x<-2」となります。
さて、この結果をふまえてどのような範囲になるのかを考えると、
今回はk<-2と言われているのでx<kのほうがx<-2よりも小さい値を指していることがわかります。
したがって、k>-2のときにともに負となるのはx<kとなります。

(ⅰ)(ⅱ)を図で表してみる

図で表すと下図のようになると思います。(図の書き方が悪いのはお許しください.。図中右側はわざと簡略化しております)

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