√の整数部分と小数部分を用いる問題

久々に解説を載せようと思います。

問：1/(4-√15)の整数部分をa、小数部分をbとして、それぞれ求めよ。

まず、整数部分、小数部分とはどこを指すのでしょうか？
たとえば、2.1234とあるとき
小数点より左にある値(今回は2)が整数部分、
右にある値(今回は0.1234)が小数部分となります。

整数部分は√で与えられている値に着目することですぐ得られます。
たとえば√7がの整数部分はいくつになるでしょうか？
√4<√7<√9　→　2<√7<3
となるので、√7=2.?となることがわかります。

小数部分はもとの値(√7)から整数部分(2)を引くことで求められます。

以上をふまえて、解説

与えられた式を有理化しよう

1/(4-√15)を有理化すると

4+√15が得られます。

√15の整数部分を求めよう

√9 < √15 <√16　→　3 < √15 < 4
となるので
√15 = 3.?
とわかり、√15の整数部分：3が得られます。

今回与えられた式は4+√15なので
4+3.? → 7.?
となり、整数部分a=7

小数部分を求めよう

√15の整数部分は7ということがわかりました。
小数部分はもとの数から整数部分を引くことで求められるので
4+√15 - 7 = √15-3
となり、小数部分b = √15-3
とわかります。